Probabilités et Statistiques bcg mip s3 pdf

Si la théorie des probabilités a été originellement motivée par l’analyse des jeux de hasard, elle a pris aujourd’hui une place centrale dans la plupart des sciences. 

Tout d’abord, de par ses applications pratiques : en tant que base des statistiques, elle permet l’analyse des données recueillies lors d’une expérience, lors d’un sondage, etc. ; elle a également conduit au développement de puissants algorithmes stochastiques pour résoudre des problèmes inabordables par une approche déterministe ; elle a aussi de nombreuses applications directes, par exemple en fiabilité, ou dans les assurances et dans la finance.

D’un côté plus théorique, elle permet la modélisation de nombreux phénomènes, aussi bien en sciences naturelles (physique, chimie, biologie, etc.) qu’en sciences humaines (économie, sociologie, par exemple) et dans d’autres disciplines (médecine, climatologie, informatique, réseaux de communication, traitement du signal, etc.).

Elle s’est même révélée utile dans de nombreux domaines de mathématiques pures (algèbre, théorie des nombres, combinatoire, etc.) et appliquées (EDP, par exemple). Finalement, elle a acquis une place importante en mathématiques de par son intérêt intrinsèque, et, de par sa versatilité, possède un des spectres les plus larges en mathématiques, allant des problèmes les plus appliqués aux questions les plus abstraites.

Le concept de probabilité est aujourd’hui familier à tout un chacun. Nous sommes constamment confrontés à des événements dépendant d’un grand nombre de facteurs hors de notre contrôle ; puisqu’il nous est impossible dans ces conditions de prédire exactement quel en sera le résultat, on parle de phénomènes aléatoires.

Ceci ne signifie pas nécessairement qu’il y ait quelque chose d’intrinsèquement aléatoire à l’oeuvre, mais simplement que l’information à notre disposition n’est que partielle. Quelques exemples : le résultat d’un jeu de hasard (pile ou face, jet de dé, roulette, loterie, etc.) ; la durée de vie d’un atome radioactif, d’un individu ou d’une ampoule électrique ; le nombre de gauchers dans un échantillon de personnes tirées au hasard ; le bruit dans un système de communication ; la fréquence d’accidents de la route ; le nombre de SMS envoyés la nuit du 31 décembre ; le nombre d’étoiles doubles dans une région du ciel ; la position d’un grain de pollen en suspension dans l’eau ; l’évolution du cours de la bourse ; etc.

Avant de commencer l’étude des probabilités, il est nécessaire d’apprendre à compter le nombre d’éléments des ensembles finis qui seront les événements étudiés : c’est le dénombrement.

Et un moyen pour y arriver est l’utilisation de quelques méthodes combinatoires, que nous détaillons ici.

Si E est un ensemble fini, on appelle cardinal de E, et on note card(E), le nombre de ses éléments.

exemple :

– Si E = { pique, trèfle, coeur, carreau }, son cardinal est card(E) = 4.

– Si E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, card(E) = 6. 

– Si E est l’ensemble des entiers, card(E) est infini. 

– Si E est l’ensemble des manières de placer Amandine, Bertrand et Cécile sur un banc, quel est le cardinal de E ? 

On peut énumérer les possibités, en indiquant l’ordre de droite à gauche : A, B, C, 

ou bien A, C, B, ou bien B, A, C ou bien B, C, A, ou bien C, A, B, ou bien C, B, A. 

Et donc card(E) = 6.

Combien de podiums sont possibles pour une épreuve olympique avec 10 participants ? Il faut choisir la médaille d’or parmi les 10, puis la médaille d’argent parmi les 9 restants, puis la médaille de bronze parmi les 8 restants, soit 10 × 9 × 8 = 720. Plus généralement.

A un concours de recrutement, 10 candidats se présentent pour trois postes. Combien de possibilités de recrutement ?

Ici, contrairement à l’exemple précédent, l’ordre importe peu : seul compte le fait d’être, ou non, recruté. On peut donc commencer par compter le nombre de manière de classer trois candidats parmi 10 : 720. Puis, ensuite, diviser ce nombre par le nombre de classements de ces trois recrutés entre eux, soit 3!. Et le nombre de recrutements possibles est donc de 120. Plus généralement.

Pour denombrer les elements d’un ensemble fini, on s’appuie sur le principe fondamental suivant :

Si une premiere operation de denombrement a m1 resultats possibles et si une deuxieme en admet m2, alors l’operation consistant a effectuer successivement ces deux operations a m1m2 resultats possibles.

Soit Z = (X, Y ) une variable aléatoire à valeurs dans R n × R m de loi absolument continue et de densité fZ. On a vu que les v.a.r. X et Y sont également absolument continues et possèdent donc des densités fX et fY . Posons A = [x ∈ R n : fX(x) > 0] .

La statistique est l’étude des populations, dont les éléments sont des individus; le plus souvent on n’étudie pas toute la population, mais seulement un échantillon de celle-ci. L’effectif d’un échantillon est le nombre d’individus qui le composent.

Plus précisément, on étudie certains caractères des individus, caractères qui peuvent être qualitatifs (par exemple le prénom, la nationalité, ...) ou quantitatifs (l’âge, la taille, les revenus mensuels...). Les caractères quantitatifs peuvent être discrets (la pointure de chaussures, le nombre de personnes au foyer, ...) ou continus (la taille, la superficie d’une région, ...).

Pour faciliter l’étude, en particulier des caractères continus, on peut regrouper les valeurs en classes, c’est à dire en intervalles deux à deux disjoints. La longueur d’un tel intervalle est appelé amplitude de la classe.

Par exemple, pour décrire la taille d’un adulte, on pourra considérer les intervalles [0; 100[, [100, 110[, . . ., [190, 200[, [200, +∞[, la première classe est d’amplitude 100, la dernière d’amplitude infinie alors que toutes les autres sont d’amplitude 10.